例题1：计算 ∮C [z² / (z - 1)] dz，其中C为单位圆 |z|=2
分析：被积函数在z=1处有奇点，且z=1位于单位圆|z|=2内部。令f(z)=z²，其在C内解析。
解：根据《cauchy积分公式》：
∮C [z² / (z - 1)] dz = 2πi · f(1) = 2πi · (1)² = 2πi
结论：积分值为 2πi。
例题2：计算 ∮C [eᶻ / (z - i)³] dz，其中C为正方形 |x|≤1, |y|≤1
分析：奇点z=i位于正方形内部（因为i=(0,1)在边界上？不，正方形|y|≤1包含y=1，若C为边界，需注意。假设C为略大于正方形的闭曲线，包含i。这里假设i在内部）。这是n=2的情况。
解：令f(z)=eᶻ，n=2。根据高阶导数公式：
∮C [eᶻ / (z - i)³] dz = (2πi / 2!) · f⁽²⁾(i)
因为f(z)=eᶻ，所以f⁽²⁾(z)=eᶻ，故f⁽²⁾(i)=eⁱ。
结果 = πi · eⁱ = πi (cos1 + i sin1) = -π sin1 + iπ cos1
例题3：利用《cauchy积分公式》计算实积分 ∫02π [1 / (5 + 3cosθ)] dθ
分析：这是一个典型的三角函数有理式积分。令z=eⁱᶿ，则cosθ=(z+1/z)/2，dz=izdθ。积分路径变为单位圆|z|=1。
解：代换后：
∫02π dθ / (5 + 3cosθ) = ∮|z|=1 [1 / (5 + 3(z+1/z)/2)] · (dz/iz)
化简被积函数：
= ∮|z|=1 [2 / (10z + 3z² + 3)] · (dz/i) = (2/i) ∮|z|=1 [1 / (3z² + 10z + 3)] dz
分母因式分解：3z²+10z+3 = (3z+1)(z+3) = 3(z+1/3)(z+3)。
奇点为z=-1/3和z=-3。只有z=-1/3在单位圆内。
令g(z) = 1 / [3(z+3)]，则原积分 = (2/i) ∮ [g(z) / (z+1/3)] dz = (2/i) · 2πi · g(-1/3)。
g(-1/3) = 1 / [3(-1/3 + 3)] = 1 / [3(8/3)] = 1/8
最终结果：4π · (1/8) = π/2。