基本定义与平方关系
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的映射。在直角坐标系中，设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则三角函数的定义如下：
| 函数名称 | 定义 | 几何意义 | 定义域 |
|---|---|---|---|
| 正弦 (sin) | y/r 或 y (单位圆) | 纵坐标 | R |
| 余弦 (cos) | x/r 或 x (单位圆) | 横坐标 | R |
| 正切 (tan) | y/x | 正切线 | {x | x ≠ kπ + π/2, k∈Z} |
| 余切 (cot) | x/y | 余切线 | {x | x ≠ kπ, k∈Z} |
| 正割 (sec) | r/x | 割线长 | {x | x ≠ kπ + π/2, k∈Z} |
| 余割 (csc) | r/y | 割线长 | {x | x ≠ kπ, k∈Z} |
基本平方关系
这是三角函数中最基础且最重要的恒等式，所有其他公式大多由此推导而来：
- ⚡ sin²α + cos²α = 1
- ⚡ 1 + tan²α = sec²α
- ⚡ 1 + cot²α = csc²α
倒数关系
- sinα · cscα = 1
- cosα · secα = 1
- tanα · cotα = 1
诱导公式详解
诱导公式主要用于将任意角的三角函数转化为锐角三角函数。其核心口诀为：“奇变偶不变，符号看象限”。
口诀解析
奇变偶不变：指角度变化中，π/2的倍数。如果是奇数倍，函数名改变（sin↔cos, tan↔cot）；如果是偶数倍，函数名不变。
符号看象限
符号看象限：将α视为锐角，判断原函数在变换后角度所在象限的正负性。例如，sin(π/2 + α)，π/2+α在第二象限，sin在第二象限为正，故结果为+cosα。
常用诱导公式表
| 角度 | sin | cos | tan | cot |
|---|---|---|---|---|
| -α | -sinα | cosα | -tanα | -cotα |
| π - α | sinα | -cosα | -tanα | -cotα |
| π + α | -sinα | -cosα | tanα | cotα |
| 2π - α | -sinα | cosα | -tanα | -cotα |
| π/2 - α | cosα | sinα | cotα | tanα |
| π/2 + α | cosα | -sinα | -cotα | -tanα |
和差与倍角公式
和差公式是推导倍角公式、半角公式的基础，也是解决复杂三角恒等变换的关键工具。
和差角公式
| 公式 | 展开式 |
|---|---|
| sin(α ± β) | sinαcosβ ± cosαsinβ |
| cos(α ± β) | cosαcosβ ∓ sinαsinβ |
| tan(α ± β) | (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ) |
倍角公式
- sin2α = 2sinαcosα
- cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
降幂公式 (由倍角公式推导)
- sin²α = (1 - cos2α) / 2
- cos²α = (1 + cos2α) / 2
- tan²α = (1 - cos2α) / (1 + cos2α)
和差化积与积化和差
这两组公式在物理波动、信号处理以及高等数学的积分运算中极为重要。它们实现了“和差”与“积”之间的相互转化。
公式列表
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| sin + sin | 2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) |
| sin - sin | 2cos((α+β)/2)sin((α-β)/2) |
| cos + cos | 2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2) |
| cos - cos | -2sin((α+β)/2)sin((α-β)/2) |
记忆技巧：和差化积公式可以简记为“正加正，正在前；正减正，余在前；余加余，余并肩；余减余，负正弦。”
公式列表
| 类型 | 公式 |
|---|---|
| sin·cos | 1/2[sin(α+β) + sin(α-β)] |
| cos·sin | 1/2[sin(α+β) - sin(α-β)] |
| cos·cos | 1/2[cos(α+β) + cos(α-β)] |
| sin·sin | -1/2[cos(α+β) - cos(α-β)] |
应用提示：积化和差公式主要用于积分运算中，将被积函数中的乘积项转化为和差项，从而简化积分过程。
反三角函数
反三角函数是三角函数的反函数。由于三角函数是周期函数，不是一一映射，因此反三角函数是多值函数。在实际应用中，通常取其主值分支。
| 函数 | 定义 | 定义域 | 值域 (主值) | 导数 |
|---|---|---|---|---|
| arcsin x | 若 sin y = x，则 y = arcsin x | [-1, 1] | [-π/2, π/2] | 1/√(1-x²) |
| arccos x | 若 cos y = x，则 y = arccos x | [-1, 1] | [0, π] | -1/√(1-x²) |
| arctan x | 若 tan y = x，则 y = arctan x | R | (-π/2, π/2) | 1/(1+x²) |
| arccot x | 若 cot y = x，则 y = arccot x | R | (0, π) | -1/(1+x²) |
反三角函数的重要恒等式
- arcsin x + arccos x = π/2
- arctan x + arccot x = π/2
- arctan x + arctan(1/x) = π/2 (x > 0)
- arctan x + arctan y = arctan((x+y)/(1-xy)) (xy < 1)
记忆技巧与解题策略
掌握公式只是第一步，灵活运用才是关键。以下提供几种高效的解题策略和记忆方法。
1. 单位圆法
不要死记硬背诱导公式。画出单位圆，标出特殊角（30°, 45°, 60°等）的坐标。任何三角函数值都可以从单位圆上的坐标或切线长度直观读出。这种方法能有效避免符号错误。
2. 辅助角公式
形如 asinx + bcosx 的表达式，可以化为 √(a²+b²) sin(x + φ)，其中 tanφ = b/a。这在求最值、周期和图像变换中极其有用。
3. 齐次式处理
遇到分母为1或分子分母次数相同的三角函数分式，通常可以将分母视为 sin²x + cos²x，然后分子分母同时除以 cosⁿx，转化为关于 tanx 的表达式进行求解。
4. 特殊角数值表
熟记 0°, 30°, 45°, 60°, 90° 的正弦、余弦、正切值。建议按角度顺序列表记忆，例如：sin 0=0, sin 30=1/2, sin 45=√2/2, sin 60=√3/2, sin 90=1。
常见疑问解答 (FAQ)
推荐使用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀。首先看角度变化，如果是π/2的奇数倍，函数名要变（正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切）；如果是偶数倍，函数名不变。其次看符号，把α看作锐角，根据原函数在对应象限的正负号来确定结果的符号。
和差化积公式是将两个三角函数的和或差转化为乘积形式，常用于简化计算和求极限。积化和差公式则是将两个三角函数的乘积转化为和或差的形式，常用于积分运算。两者互为逆运算，但记忆口诀不同，建议通过推导来理解其内在联系。
arcsin(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]；arccos(x)的定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]；arctan(x)的定义域为R，值域为(-π/2, π/2)；arccot(x)的定义域为R，值域为(0, π)。注意反三角函数是多值函数，通常取主值分支。
三角函数在物理中应用广泛，例如简谐运动（弹簧振子、单摆）的位移、速度、加速度都可以用正弦或余弦函数描述。交流电的电压、电流随时间变化也遵循正弦规律。此外，波的干涉、衍射现象以及光的偏振等都离不开三角函数的知识。